ТРЕТИ ТУР НА ДИСТАННЦИОННИЯ ЕТАП НА ОЛИМПИАДАТА НА ОЙЛЕР

1. Начертайте в равнината пет различни прави така, че те да имат точно седем различни пресечени точки.

2. Момче отишло с баща си на стрелбище. Бащата му купил 10 сачми. След това бащата за всяко попадение в целта му давал една сачма допълнително, а при неуспешен изстрел му взимал една сачма. Синът стрелял 55 пъти, след което останал без сачми. Колко пъти той е улучил целта?

3. Две от ъглополовящите на триъгълник се пресичат под ъгъл 60 градуса. Да се докаже, че един от ъглите на този триъгълник е равен на 60 градуса.

4. Когато Мечо Пух бил на гости у Заека, той изял 3 купички мед, 4 купички сметана и 2 купички конфитюр и така надебелял, че не могъл да излезе навън от дома на Зайо. Известно е, че ако беше изял 2 купички мед, 3 купички сметана и 4 купички конфитюр или 4 купички мед, 2 купички сметана и 3 купички конфитюр, то той щеше да излезе спокойно от хралупата на Зайо. От какво се дебелее повече: от конфитюр или от сметана?

5. Във всяка клетка на дъска 50х50 е записано по едно число. Известно е, че всяко число е 3 пъти по-малко от сумата на всички числа, които са в съседни по страна клетки, и 2 пъти по-малко от сумата на всички числа, които са в съседни по диагонал клетки. Докажете, че всяка клетка на дъската може да се оцвети в червен или син цвят така, че сумата на всички числа записани в червените клетки да е равна на сумата на всички числа, записани в сините клетки.

Не забравяйте да обосновете отговорите си!