|
|
Четвърти
тур на дистанционния етап на
Олимпиадата на Леонард Ойлер Четвъртият тур се провежда по задачи от
олимпиадата на Г. П. Кукин, г.Омск , олимпиада. 1. Ще наричаме
неотрицателно цяло число зебра, ако в неговия запис строго
се редуват четни и нечетни цифри. Може ли разликата на две 100-значни зебри
да бъде 100-значна зебра? 2. Равностранен
триъгълник със страна 2 е разрязан на триъгълници със страна 1. Във върховете
на тези триъгълници са разположени
6 еднакви на вид монети. Известно е, че две от тях са фалшиви, по-леки
са от истинските, и лежат в краищата на единична отсечка. Как могат да се
определят двете фалшиви монети с две претегляния на везни с две блюда и без
теглилки? (Фалшивите монети
са с еднакво тегло, истинските – също) 3. Ето четири
свойства за четириъгълници: (1) противоположните страни са две по две
равни; (2) две противоположни страни са
успоредни; (3) някои две съседни страни са равни; (4) диагоналите са перпендикулярни и се
делят от точката, в която се пресичат в едно и също отношение. Единият от два
дадени четириъгълника притежава някои две от тези свойства, а другият –
останалите две. Докажете, че единият от тези четириъгълници е ромб. 4. На пазар за
автомобили могат да се заменят три автомобила „Жигули” за една „Волга” и един
„Мерцедес”, а три „Волги” – за две „Жигули”-та и един „Мерцедес”. Може ли
колекционерът Вася, който имал 700 „Жигули”-та, да получи 400 „Мерцедес”-а? 5. Петя намерил
сумата на всички нечетни делители на едно четно число, а Вася – сумата от
всички четни делители на това число. Може ли произведението на тези две суми
да се окаже точен квадрат на естествено число? |
|